UNIVERSIDAD ALFONSO REYES
2do ENSAYO DE
MATEMATICAS
LIC. SERGIO GUAJARDO
MAT: L10910 / 1ER TETRA / TURNO
NOCTURNO
INTRODUCCION
Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa
de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o
experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en
el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.
DESARROLLO
La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses
del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos
anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes
contribuciones a su desarrollo.
La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias
preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo saber cuántas veces se
han de lanzar un par de dados para que la probabilidad de que salga seis sea el
50 por ciento.
La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1,
ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y
la probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más
sencillos estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o
acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual probabilidad
de ocurrir.
Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de
ellos se consideran favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n.
Por ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, por
tanto, la probabilidad de que salga un 5 ó un 6 es 2/6.
Problemas más complicados estudian acontecimientos en que los distintos
resultados tienen distintas probabilidades de ocurrir. Por ejemplo, encontrar
la probabilidad de que salga 5 ó 6 al lanzar un par de dados: los distintos
resultados (2, 3,…12) tienen distintas probabilidades. Algunos experimentos
pueden incluso tener un número infinito de posibles resultados, como la
probabilidad de que una cuerda de circunferencia dibujada aleatoriamente sea de
longitud mayor que el radio.
Los problemas que estudian experimentos repetitivos relacionan la
probabilidad y la estadística. Algunos ejemplos: encontrar la probabilidad de
obtener 5 veces un 3 y al menos 4 veces un 6 al lanzar un dado, sin hacer
trampas, 50 veces; si una persona lanza una moneda al aire y da un paso hacia
delante si sale cara y un paso hacia atrás si sale cruz, calcular la
probabilidad de que, después de 50 pasos, la persona esté a menos de 10 pasos
del origen.
El uso más generalizado de la probabilidad es su utilización en el
análisis estadístico. Por ejemplo, la probabilidad de sacar 7 al lanzar dos
dados es 1/6, lo que significa (se interpreta como) que al lanzar dos dados
aleatoriamente y sin hacer trampas, un gran número de veces, alrededor de un
sexto de los lanzamientos darán 7.
La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas,
biológicas y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a
muchas áreas tan dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros.
También estudia problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad
y está bastante relacionada con la teoría del análisis matemático, que se
desarrolló a partir del cálculo.
Cálculo o medición de la Probabilidad
La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso o evento) cuando se realiza un experimento aleatorio.
Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del mismo; es decir, de cuántas formas puede ocurrir determinada situación.
Los casos favorables de ocurrencia de un evento serán los que cumplan con la condición que estamos buscando.
La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):
El valor cero corresponde al suceso imposible; ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero.
El valor uno corresponde al suceso seguro, ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).
El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.
Métodos de medición de Probabilidad
Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.
La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso o evento) cuando se realiza un experimento aleatorio.
Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del mismo; es decir, de cuántas formas puede ocurrir determinada situación.
Los casos favorables de ocurrencia de un evento serán los que cumplan con la condición que estamos buscando.
La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):
El valor cero corresponde al suceso imposible; ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero.
El valor uno corresponde al suceso seguro, ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).
El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.
Métodos de medición de Probabilidad
Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.
Ejemplos:
a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable (f) es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles (n) son seis (puede salir cualquier número del uno al seis).
Por lo tanto:
(o lo que es lo mismo, 16,6%)
b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables (f) son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles (n) siguen siendo seis.
Por lo tanto:
(o lo que es lo mismo, 50%)
c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (f) (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles.
Por lo tanto:
(o lo que es lo mismo, 66,6%)d) Probabilidad de ganarse el premio mayor de una lotería en la que juegan 100.000 númerosnos: tan sólo un caso favorable (f), el número que jugamos, frente a los 100.000 casos posibles (n).
Por lo tanto:
(o lo que es lo mismo, 0,001%)e) Probabilidad al lanzar una moneda, con un águila en una cara y un sol en la otra. Hay dos casos posibles (n) de ocurrencia (o cae águila o cae sol) y sólo un caso favorable (f) de que pueda caer águila (pues sólo hay un águila en la moneda).
Por lo tanto:
(o, lo que es lo mismo, 50 %)Existe una probabilidad del 50% de obtener un águila al tirar una moneda.
f) Probabilidad de elegir tal o cual fruta. Si en una canasta hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?
Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles (n). Para calcular la probabilidad de sacar una manzana los casos favorables (f) son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas.
Por lo tanto:
Fíjate bien que 33,3% + 66,7% es igual al 100% porque siempre que saquemos algo de la canasta es seguro que será una fruta.
Condiciones importantes
Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos:
a) El número de resultados posibles (sucesos o eventos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables dividido por casos posibles" el cociente siempre sería cero.
b) Todos los sucesos o eventos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla.
A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.
Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades.
Ejemplo:
si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.
Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%, sino que se habría reducido al 70%.
Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuentista.
Fuentes
aulafacil.org
thales.cica.es/rd/
conevyt.org.mx/activ
profesorenlinea.cl
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